[내 머리로 통계학] 마코프연쇄와 체프만-콜모고로프 방정식

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🎲 오늘의 주제: 마코프 연쇄와 체프만-콜모고로프 방정식!

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🧠 마코프 연쇄란?

👉 무기억성이란?

친구랑 숨바꼭질할 때, "지금 어디 숨었는지"만 중요하지, "전에 어디 있었는지"는 별로 중요하지 않다.

이게 바로 무기억성이다.

"지금 상태가 미래를 결정하고, 과거는 잊어버린다!" 😮
이걸 무기억성 (Memoryless) 이라고 한다.

🎯 마코프 연쇄을 쉽게 말하면?

마코프 연쇄은 간단히 말해서 한 상태에서 다른 상태로 움직이는 규칙이다.
근데 중요한 건! **"다음에 어디로 갈지는 지금 어디 있는지에만 달려 있다"**는 것이다.

🎈 예시: 사탕 뽑기 기계

• 사탕 뽑기 기계를 사용한다고 가정해보자
• 지금은 딸기맛 사탕을 뽑았다
• 다음에 나올 사탕이 뭘까? 🍓🍇🍋

➡️ 오직 지금 딸기맛이 나왔다는 사실만 중요하고, 그 전에 뽑았던 사탕은 신경 안 쓴다!
➡️ 이게 바로 마코프 연쇄! 🎉

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🔄 체프만-콜모고로프 방정식이란?

마코프 연쇄 안에서 **‘두 번 이상 상태가 바뀔 때 확률은 어떻게 계산할까?’**를 알려주는 방정식이다

체프만-콜모고로프 방정식은 이렇게 말한다:

"1단계씩 옮겨가는 확률들을 잘 이어 붙이면, 여러 단계의 확률을 구할 수 있어!"

 

🧮 도박꾼의 파산 문제로 예시

💰 예시: 도박하는 단단님?!

• 단단님이 5천 원을 가지고 있다
• 게임을 할 때마다 1천 원을 따거나, 1천 원을 잃는다. (50% 확률로요!)
• 돈이 0원이 되면 파산 😢
• 목표는 10천 원을 만드는 것!

이 게임은 한 판, 한 판이 마코프 연쇄처럼 흘러간다
왜냐면 지금 가진 돈이 얼마인지만 중요하고, 예전에 얼마 있었는지는 안 중요하기 때문이다.

이제 2판 후에 7천 원을 가질 확률을 계산하고 싶다

 

➡️ 체프만-콜모고로프 방정식

“2판 후의 확률 = 1판 후 중간값들을 거쳐서 계산한 모든 경우의 합!”

예를 들어서:

• 1판 후에 6천 원 ➡️ 그 다음에 7천 원
• 1판 후에 8천 원 ➡️ 그 다음에 7천 원

이런 식으로 **중간 상태(bridge)**를 다 이어서 계산해주면 된다 🧩

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📌 정리하면?

개념	쉽게 말하면	핵심 포인트
마코프 연쇄	지금 상태만 중요	무기억성
체프만-콜모고로프	여러 단계를 연결하는 공식	중간 상태들을 이용해 계산해요

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하... 이건 뭐... 어렵다.

그치만 일단 개념을 챙겨보는것으로 하자.